Landasan Teori Modul Probabilitas

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1    Probabilitas

Probabilitas adalah suatu indeks atau nilai yang digunakan untuk menentukan tingkat terjadinya suatu kejadian yang bersifat random (acak). Oleh karena itu probabilitas merupakan indeks atau nilai maka probabilitas memiliki batas-batas yaitu mulai dari 0 sampai dengan 1 . Pengertian probabilitas dapat dilihat melalui tiga macam pendekatan yaitu pendekatan klasik, pendekatan frekuensi relatif, dan pendekatan subjektif (Hasan, 2001):

1.    Pendekatan klasik

Probabilitas diartikan menurut pendekatan klasik sebagai hasil bagi dari banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa yang mungkin. Menurut pendekatan klasik, probabilitas dirumuskan:

                                     

Keterangan:

P(A)     = Probabilitas terjadinya kejadian A

X         = Peristiwa yang dimaksud

n          = banyaknya peristiwa yang mungkin

2.    Pendekatan frekuensi relatif

Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas diartikan sebagai:

a.    Proporsi waktu terjadinya suatu peristiwa dalam jangka panjang, jika kondisi stbil atau

b.    Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalam sejumlah besar percobaan.

Probabilitas frekuensi relatif sering jga disebut sebagai probabilitas empiri. Menurut pendekatan ini probabilitas dirumuskan:

 

Keterangan:

P(X_i)      = probabilitas peristiwa i

f_i                                = frekuensi peristiwa i

n             = banyaknya peristiwa yang bersangkutan

3.    Pendekatan subjektif

Menurut pendekatan subjektif, probabilitas diartikan sebagai tingkat kepercayaan individu yang didasarkan pada peristiwa masa lalu yang berupa terkaan saja.

2.2    Percobaan, Ruang Sampel, Titik Sampel, dan Peristiwa

Percobaan adalah proses pelaksanaan pengukuran atau observasi yang bersangkutan atau dapat juga dikatakan suatu kejadian yang memberikan suatu hasil yang dapat diamati. Hasil yang diamati dalam suatu percobaan disebut hasil percobaan. Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan. Ruang sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel. Titik sampel adalah setiap anggota dari ruang sampel suatu percobaan, atau hasil dari percobaan atau anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul (Hasan, 2001).

2.3    Probabilitas Beberapa Peristiwa

Probabilitas beberapa peristiwa merupakan probabilitas yang terjadi pada dua peristiwa atau lebih, baik yang terjadi secara bersamaan maupun yang tidak terjadi bersamaan. Perobabilitas beberapa peristiwa dibagi menjadi tiga macam yaitu mutually exclusive, nonexclusive dan independen (Hasan, 2001).

1.    Peristiwa saling lepas (mutually exclusive)

Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Jika peristiwa A dan B saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah:

P( A atau B) = P(A) + P(B) atau P(A B) = P(A) + P(B)

 

                       

Keterangan

P(A) = Peluang peristiwa A

P(B) = Peluang peristiwa B

P(A B) = Peluang peristiwa A gabung peristiwa B

2.    Peristiwa tidak saling lepas (nonexclusive)

Dua peristiwa atau lebih yang dapat terjadi bersamaan. Maka dari itu peristiwa tidak saling lepas juga disebut sebagai peristiwa bersama. Jika peristiwa A dan B tidak saling, maa probabilitasnya dirumuskan dengan:

P( A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B) P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

 

Keterangan

P(A) = Peluang peristiwa A

P(B) = Peluang peristiwa B

P(A B) = Peluang peristiwa A gabung peristiwa B

P(A B) = Peluang peristiwa A iris peristiwa B

3.    Peristiwa saling bebas (peristwa independen)

Dua peristiwa atau lebih apabila terjadi dimana satu peristiwa tidak mempengaruhi peristiwa yang lain. Probabilitas ini dapat dibedakan menjadi tiga macam, yaitu:

a.    Probabilitas marginal atau probabilitas tidak bersyarat

Probabilitas marginal merupakan probabilitas terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan peristiwa yang lain. Artinya peristiwa-peristiwa tersebut tidak saling mempengaruhi.

b.    Probabilitas gabungan

Perobabilitas gabungan merupakan dua peristiwa atau lebih yang terjadi secara berurutan dan peristiwa-peristiwa tersebut tidak saling mempengaruhi. Probabilitas peristiwa jika peristiwa A dan peristiwa B merupakan probabilitas gabungan adalah

P(A dan B) = P(A B) = P(A) x P(B)

 

Jika peristiwa A, B, dan C gabung maka probabilitasnya adalah

P(A B C) = P(A B) = P(A) x P(B) x P(C)

 

Keterangan

P(A B C)    = irisan antara peluang peristiwa A dan B dan C

P(A B)            = irisan antara peluang peristiwa A dan B

P(B) x P(C)        = peluang terjadinya peristiwa A terhadap C

P(A) x P(B)       = hasil kali peluang terjadinya peristiwa A terhadap B

c.    Probabilitas bersyarat

Probabilitas bersyarat merupakan perobabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi. Peristiwa –peristiwa tersebut tidak saling mempengaruhi. Probabilitas bersyarat dirumuskan:

P(A/B) = P(B)

 

Keterangan

P(B)       = peluang terjadinya peristiwa B

P(A/B)   = hasil bagi peluang terjadinya peristiwa A terhadap B

2.4    Peristiwa tidak saling bebas (peristiwa dependen)

Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling bebas apabila peristiwa yang satu dipengaruhi dan bergantung pada peristiwa lainnya. Probabilitas dependen ini dibedakan menjadi tiga yaitu probabilitas bersyarat, gabungan, dan marginal (Hasan, 2001).

1.    Probabilitas bersyarat

Probabilitas bersyarat merupakan probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi dan peristiwa-peristiwa tersebut saling mempengaruhi. Probabilitas bersyarat dirumuskan dengan:

                                                     

                                                     

Keterangan

P(B/A)        = Hasil bagi anatara peluang peristiwa B terhadap peristiwa A

P(A B)    = irisan antara peristiwa A dan B

P(A)            = Peluang peristiwa A

2.    Probabilitas gabungan

Probabilitas gabungan merupakan probabilitas terjadinya dua peristiwa atau lebih dimana peristiwa-peristiwa tersebut terjadi secara bersamaan (berurutan) dan peristiwa-peristiwa tersebut saling mempengaruhi. Probabilitas gabungan dirumuskan dengan (Hasan, 2001):

P(A dan B) = P(A B) = P(A) x P(B/A)

 

Keterangan

P(A B)    = irisan antara peluang peristiwa A dan B

P (B/A)       = hasil bagi peluang terjadinya peristiwa A terhadap B

P(A)            = peluang terjadinya peristiwa A

3.    Proababilitas Marginal

Probabilitas marginal merupakan probabilitas terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain dan peristiwa tersebut saling mempengaruhi. Probabilitas marginal dirumuskan dengan:

2.5    Probabilitas Beberapa Peristiwa dengan Pendekatan Kombinasi

Terjadinya beberapa peristiwa baik itu dua peristiwa atau lebih  dapat dilakukan dengan menggunakan metode perhitungan dengan pendekatan kombinasi. Probabilitas beberapa peristiwa dengan pendektatan kombinasi dirumuskan dengan (Hasan, 2001):

 

Keterangan     

C         = Kombinasi

r           = rasio

n          = banyaknya kejadian atau peristiwa

2.6    Peristiwa Komplementer

P(A) + P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B) atau P(B) = 1 – P(A)

Dua peristiwa disebut peristiwa komplementer apabila peristiwa yang satu melengkapi peristiwa lainnya atau peristiwa yang saling melengkapi. Jika peristiwa A dan B adalah peristiwa komplementer, probabilitas terjadinya, peristiwa tersebut dirumuskan dengan (Hasan, 2001).

2.7    Kaidah Bayes (Teorema Bayes)

Kaidah bayes atau teorema bayes dikemukakan oleh seorang pendeta Presbyterian Inggris tahun 1763 yang bernama Thomas Bayes. Kaidah ini digunakan untukdigunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.

Teori ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya suatu peristiwa (misalkan A) dengan syarat peristiwa lain (misalkan B) telah terjadi dan probabilitas terjadinya peristiwa X dengan syarat peristiwa A telah terjadi. Kaidah ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat mmperbaharui probabilitas.

Kaidah bayes ini menyatakan, jika dalam suatu ruang sampel terdapat beberapa peristiwa saling lepas (mutually exlusive), yaitu misalkan A₁, A₂, A₃, ..., An memiliki probabilitas tidak sama dengan nol dan apabila ada peristiwa lain (misalkan X) yang mungkin dapat terjadi pada peristiwa-peristiwa A₁, A₂, A₃, ..., A_n dengan diketahui oeristiwa X tersebut , maka (Hasan, 2001):

 

Keterangan:

P(Ai)                 = Probabilitas berdasaran informasi yang tersedia (belum ada   tambahan informasi).

P(A_i)P(X_iIA_i)    = Probabilitas yang diperbaiki dengan adanya informasi tambahan

2.8    Harapan Matematika (Ekspektasi Matematis)

Harapan matematika atau nilai harapan adalah jumlah dari semua hasil perkalian antara nilai variabel random dengan probabilitas yang bersesuaian dengan nilai tersebut.

Jika X adalah suatu variabel random yang memiliki harga-harga X dengan probabilitas variabel randomnya adalah P(X) serta probabilitas masing-masing harga adalah P(X₁), P(X₂), .. P(X_n) maka harapan matematikanya adalah (Hasan, 2001):

2.9    Permutasi dan Kombinasi

Ada himpunan n unsur (objek) yang berlainan, maka banyaknya susunan (cara penyusunan) unsur-unsur itu disebut banyaknya permutasi himpunan tersebut dan jika ada himpunan n unsur-unsur yang berlainan dibuat susunan yang terdiri dari k unsur (k < n), maka banyaknya susunan itu disebut banyaknya permutasi himpunan tersebut dengan ambilan k.

Permutasi dirumuskan dengan ( Yahya, 2013):

Keterangan: P= permutasi n= banyaknya data k= besar rasio

 

Permutasi memiliki macam-macamnya dalam suatu modul probabilitas ini. Permutasi terbagi atas 2 jenis yaitu permutasi siklis dan permutasi dari sebagian anggota yang sama, yaitu (Boediono, 2001):

1.    Permutasi Melingkar (Siklis)

Banyaknya permuatasi = ( n - 1 )!

Permutasi melingkar merupakan permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu himpunan secara melingkar. Permutasi melingkar dianggap sama bila didapatkan dua himpunan sama permutasi yang sama dengan cara beeranjak dari suatu anggota tertentu dan bergerak searah jarum jam. Banyaknyapermutasidan anggota disusun secara melingkar dirumuskan sebagai berikut:

2.    Permutasi dari Sebagian anggota yang sama jenisnya

Permutasi ini digunakan apabila memiliki suatu himpunan yang terdiri atas n anggota, maka ada kemungkinan sebagian dari anggotanya mempunyai jenis yang sama. Misalnya jenis 1 terdiri atas n₁ yang sama, jenis 2 terdiri atas n₂ yang sama, jenis 3 terdiri dari n₃ yang sama, ..., jenis k terdiri atas n_k yang sama, maka banyaknya permutasi  yang dapat dibentuk adalah:

Kombinasi didefiniskan sebagai suatu himpuanan n buah unsur yang berlainan akan disusun dengan masing-masing susunan terdiri dari k unsur ( k n ) tanpa memperhatikan urutannya, maka banyaknya susunan tersebut disebut banyaknya kombinasi himpunan tersebut dengan ambilan k. Kombinasi  dirumuskan dengan ( Yahya, 2013):

Keterangan: C= kombinasi n= banyaknya data r = rasio

 

2.10     Himpunan

Himpunan adalah suatu kumpulan objek dari objek-objek sebarang. Cara pengumpulan objek-objek itu biasanya berdasarkan sifat/keadaan mereka yang sama, atau pun berdasarkan aturan tertentu yang sudah ditentukan.(Yahya,.2013).

Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas dan dapat dibeda-bedakan. Setiap objek yang secara kolektif membentuk himpunan tersebut disebut elemen atau unsur atau anggota dari himpunan tersebut. Himpunan dilambangkan dengan pasangan kurung kurawal {} dan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital (besar), seperti A, B, C, ... Anggota himpunan ditulis dengan lambang . Dalam statistik himpunan dikenal sebagai populasi.Himpunan juga memiliki beberapa operasi diantaranya adalah operasi gabungan (onion), operasi irisan (interseksi),  dan operasi selisih.

1.    Operasi Gabungan (Onion).

Gabungan himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang termasuk didalam A atau didalam B atau didalam A dan B sekaligus. Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan dengan A B atau A + B dituliskan: A B = {X : x A, x B, atau x AB}.

2.    Operasi Irisan (interseksi).

Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur yang termasuk didalam A dan B. Irisan dari himpunan A dan B dilambangkan dengan A B atau AB dan dituliskan: A B = {X : x A, dan x B}.

3.    Operasi selisih

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur A yang tidak termasuk didalam B. Selisih himpunan A dan himpunan B dilambangkan A – B atau A B. Dituliskan : {X : x A, x B}.

4.    Komplemen

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta S adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen S yang bukan elemen A. Komplemen di notasikan dengan Notasi: Ac = {x|x S, x A}.